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Problèmes et énigmes à résoudre...Bonne chance
14/06/2015 à 10h54
enlaye écrivait:
----------------
> Hodina , la question exacte , c est quoi ?
La question me parait évidente : existe t-il une combinaison de P et F qui permet d'augmenter ses chances de gagner... Si oui, c'est cette combinaison de P et F que la souris voudra choisir, étant plus intelligente.
Théoriquement chaque combinaison possible a autant de chance de sortir : (1/2)^3
Mais dans la mesure où les lancers se succèdent tant que la bonne combinaison n'est pas sortie, et que ce sont les 3 derniers lancers qui sont pris en compte, il y a un petit biais à trouver...
14/06/2015 à 11h22
oups....
Désolé
Existe-t-il une stratégie pour maximiser l'espérance du gain d'un des deux joueurs ?
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14/06/2015 à 11h46
ok, thks, on va d'abord écrire les combinaisons
ppp
ppf
pfp
pff
fpp
fpf
ffp
fff
avec en effet 1/8 de chance pour chaque configuration. Une stratégie, je ne vois pas , car ici l'ordre est important , par exemple ppf est différent de fpp.
Pour moi, mais vue la devinette, je dois me tromper, on est dans le cas classique d'un calcul probabiliste de type "tirage avec remise".
Je ne vois donc pas de stratégie (pour le moment). Mais c'est une devinette :-)
14/06/2015 à 11h52
Après une plus longue réflexion, je rectifie ma 1ère réponse : les deux meilleurs combinaisons sont PPF et FFP, viennent ensuite PFF et FPP, puis PFP et FPF, puis en dernier PPP et FFF.
En effet :
- avec les combinaisons PPP et FFF, à chaque lancé tout est remis en cause et on redémarre à zéro en cas de mauvais résultat.
- avec les combinaisons PFP et FPF :
* Si le second lancé n’est pas bon, on conserve 1 bon résultat et donc 1 chance sur 4 de gagner au 4ème lancé (1/8 au 4)
* Si le 3ème lancer n’est pas bon, on redémarre de 0 (on ne peut alors gagner qu'au 6ème lancé!)
- avec les combinaisons PFF et FPP :
* Si le second lancé n’est pas bon on conserve 1 bon résultat et donc 1 chance sur 4 de gagner au 4ème lancé (1/8 au 4)
* Si le 3ème lancer n’est pas bon on conserve 1 bon résultat et donc 1 chance sur 4 de gagner au 5ème lancé (1/16 au 5)
- avec les combinaisons PPF et FFP :
* Si le second lancé n’est pas bon, on redémarre à zéro et on a donc 1 chance sur 8 de gagner au 5ème lancé (1/16 au 5)
* Si le 3em lancé n’est pas bon on reste quand même à 2 bons résultats soit 1 chance sur 2 de gagner au 4ème lancé! (1/8 au 4)
14/06/2015 à 13h17
carident écrivait:
------------------
> Après une plus longue réflexion, je rectifie ma 1ère réponse : les deux
> meilleurs combinaisons sont PPF et FFP, viennent ensuite PFF et FPP, puis PFP et
> FPF, puis en dernier PPP et FFF.
>
> En effet :
>
> - avec les combinaisons PPP et FFF, à chaque lancé tout est remis en cause et on
> redémarre à zéro en cas de mauvais résultat.
>
> - avec les combinaisons PFP et FPF :
> * Si le second lancé n’est pas bon, on conserve 1 bon résultat et donc 1 chance
> sur 4 de gagner au 4ème lancé (1/8 au 4)
> * Si le 3ème lancer n’est pas bon, on redémarre de 0 (on ne peut alors gagner
> qu'au 6ème lancé!)
>
> - avec les combinaisons PFF et FPP :
> * Si le second lancé n’est pas bon on conserve 1 bon résultat et donc 1 chance
> sur 4 de gagner au 4ème lancé (1/8 au 4)
> * Si le 3ème lancer n’est pas bon on conserve 1 bon résultat et donc 1 chance
> sur 4 de gagner au 5ème lancé (1/16 au 5)
>
> - avec les combinaisons PPF et FFP :
> * Si le second lancé n’est pas bon, on redémarre à zéro et on a donc 1 chance
> sur 8 de gagner au 5ème lancé (1/16 au 5)
> * Si le 3em lancé n’est pas bon on reste quand même à 2 bons résultats soit 1
> chance sur 2 de gagner au 4ème lancé! (1/8 au 4)
>
Pas évident de choisir entre les combinaisons PFF ou FPP, et PPF ou FFP, car sur une très longue série de lancés, les chances de succès sont identiques... Néanmoins, je reviens sur ma première proposition : les solutions PFF et FPP sont les mieux! La probabilité d'arrivé directement à avoir 2 bons résultats consécutifs étant moindre...
Par conséquent : les deux meilleurs combinaisons sont PFF et FPP, viennent ensuite PPF et FFP, puis PFP et FPF, puis en dernier PPP et FFF.
14/06/2015 à 14h05
enlaye écrivait:
----------------
> On peut pas vous laisser 5 mn .
> Me faut un papier un crayon .......
Tu ne vas quand même pas encore poster une photo de tes boules? Ou alors va-on avoir le droit à une photo du crayon cette fois-ci? :-)
14/06/2015 à 14h37
Je n'arrive pas a croire la non independance des lancers, a une espèce de stratégie.
Pour moi, il n'y a aucune stratégie, la probabilité d'obtenir une des 8 configurations reste la meme, quelquesoit le tirage précédent.
Chaque lancer de piéces vit sa vie propre! C'est le principe meme du tirage avec remise!
14/06/2015 à 14h38
toi , si tu continues , tu vas finir avec la petite souris !:-)))))
P6140117_fqibm7.jpg
14/06/2015 à 14h41
enlaye écrivait:
----------------
> toi , si tu continues , tu vas finir avec la petite souris !:-)))))
noooooooonnnnnn... Pas ça! :-)
14/06/2015 à 14h49
adhoc écrivait:
---------------
> Je n'arrive pas a croire la non independance des lancers, a une espèce de
> stratégie.
> Pour moi, il n'y a aucune stratégie, la probabilité d'obtenir une des 8
> configurations reste la meme, quelquesoit le tirage précédent.
> Chaque lancer de piéces vit sa vie propre! C'est le principe meme du tirage avec
> remise!
>
Bien sûre que les lancés sont indépendant et que la probabilité d'obtenir chacune des 8 combinaisons est identique...
Cependant, lorsque t'arrive au 4ème lancé (si aucun des deux n'a gagné au 3ème lancé), les lancés 2 et 3 continue à compter pour le résultat avec ce 4ème : donc, si la combinaison que tu as choisi n'est pas complètement remise en cause par le 3ème lancé, tu peux encore gagner directement au 4ème lancé, voir au 5ème (sans avoir à attendre un 6ème lancé, et donc une 2ème série de 3 lancés indépendant!)
14/06/2015 à 15h34
enlaye écrivait:
----------------
> toi , si tu continues , tu vas finir avec la petite souris !:-)))))
Si jche finis avec la ptite shouris, toi tu vas finir comme le gros minet tout mouillé... ;-)
Et si tu fais le malin avec ton crayon, ça pourrait être pire... :-))))))
chat_tremp__xieoib.jpg
MiaAaoouuuu_anyuu9.jpg
14/06/2015 à 15h37
la souris doit choisir la même combinaison que le chat, sauf pour le dernier lancé.
Si le chat choisit PPP, la probabilité est de 1/8
Pour la souris tous ce jouera sur le dernier lancé, les deux précédant sont forcément PP, et la probabilité sur un lancé est de 1/2.
1/8 pour le chat
1/2 pour la souris
????
14/06/2015 à 15h53
vulpi écrivait:
---------------
> la souris doit choisir la même combinaison que le chat, sauf pour le dernier
> lancé.
>
> Si le chat choisit PPP, la probabilité est de 1/8
> Pour la souris tous ce jouera sur le dernier lancé, les deux précédant sont
> forcément PP, et la probabilité sur un lancé est de 1/2.
> 1/8 pour le chat
> 1/2 pour la souris
> ????
Sur 3 lancés seulement, les 8 combinaisons possibles ont exactement la même chance de tomber...
Le biais apparait (se concrétise) uniquement à partir du 4ème lancé : dans ces cas là il faut faire en sorte que la combinaison choisie préserve tes chances de succès sans attendre une nouvelle série de 3 lancés.
Quelque soit la combinaison choisie, si le 1er lancé ne correspond pas au 1er résultat choisi, on redémarre de 0.
Par contre, si le premier lancé est bon (1 chance sur 2), lors du second lancé on peut déjà introduire un biais, en faisant en sorte que la combinaison choisi ne remette pas le compteur à zéro...
14/06/2015 à 15h56
tout le sujet repose sur un paradoxe mis à jour en 1969
Le sujet était : Titi et Groucha jouent ensemble avec une pièce parfaitement équilibrée.
Titi propose à Groucha de le déclarer vainqueur si la séquence PPF sort avant la séquence FPP. Sinon, c'est Titi qui ramasse la mise.
Groucha est d'accord, car il estime à juste titre que chacune des deux séquences a la même probabilité d'apparaître, soit 1/8.
Toutefois, Groucha ne voit pas que s'agissant d'une chaîne discrète de Markov dans laquelle le temps joue un rôle prépondérant, le choix de Titi est tout sauf innocent.
En effet, après les deux premiers lancers apparaissent les quatre cas possibles suivant : PP, PF, FF et FP.
Et il est clair que si le premier cas est tout à fait favorable à Groucha (il ne peut que gagner), les trois autres sont exclusivement favorables à Titi.
Si on suppose que P sort au tirage n° 3, Titi gagne dans le cas FP ; dans les trois autres cas, il faut attendre le tirage n° 4 avec la suite : PP ; FP ; FP. Là, si P sort à nouveau, Titi gagne dans les deux autres cas, tandis que Groucha n'a qu'une seule chance de gagner, c'est que F sort au tirage n° 3 ou 4.
Le problème proposé doit s'inspirer de ce paradoxe (le paradoxe est que Groucha a une chance sur quatre de gagner, quand Titi en a 3 sur quatre, avec le même temps d'attente).
--
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14/06/2015 à 16h03
Hodina écrivait:
----------------
>
> tout le sujet repose sur un paradoxe mis à jour en 1969
> Le sujet était : Titi et Groucha jouent ensemble avec une pièce parfaitement
> équilibrée.
> Titi propose à Groucha de le déclarer vainqueur si la séquence PPF sort avant la
> séquence FPP. Sinon, c'est Titi qui ramasse la mise.
> Groucha est d'accord, car il estime à juste titre que chacune des deux séquences
> a la même probabilité d'apparaître, soit 1/8.
> Toutefois, Groucha ne voit pas que s'agissant d'une chaîne discrète de Markov
> dans laquelle le temps joue un rôle prépondérant, le choix de Titi est tout sauf
> innocent.
> En effet, après les deux premiers lancers apparaissent les quatre cas possibles
> suivant : PP, PF, FF et FP.
> Et il est clair que si le premier cas est tout à fait favorable à Groucha (il ne
> peut que gagner), les trois autres sont exclusivement favorables à Titi.
> Si on suppose que P sort au tirage n° 3, Titi gagne dans le cas FP ; dans les
> trois autres cas, il faut attendre le tirage n° 4 avec la suite : PP ; FP ; FP.
> Là, si P sort à nouveau, Titi gagne dans les deux autres cas, tandis que Groucha
> n'a qu'une seule chance de gagner, c'est que F sort au tirage n° 3 ou 4.
> Le problème proposé doit s'inspirer de ce paradoxe (le paradoxe est que Groucha
> a une chance sur quatre de gagner, quand Titi en a 3 sur quatre, avec le même
> temps d'attente).
>
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C'est exactement ce que j'ai expliqué plus haut, en d'autres termes...
"Pas évident de choisir entre les combinaisons PFF ou FPP, et PPF ou FFP, car sur une très longue série de lancés, les chances de succès sont identiques... Néanmoins, je reviens sur ma première proposition : les solutions PFF et FPP sont les mieux! La probabilité d'arrivé directement à avoir 2 bons résultats consécutifs étant moindre...
Par conséquent : les deux meilleurs combinaisons sont PFF et FPP, viennent ensuite PPF et FFP, puis PFP et FPF, puis en dernier PPP et FFF."
Mais il semble que personne ne comprenne le langage petite souris... :-(
14/06/2015 à 16h05
En mathématiques, une chaîne de Markov est, selon les auteurs, un processus de Markov à temps discret, ou bien un processus de Markov à temps discret et à espace d'états discret. Un processus de Markov est un processus stochastique possédant la propriété de Markov : de manière simplifiée, la prédiction du futur, sachant le présent, n'est pas rendue plus précise par des éléments d'information supplémentaires concernant le passé ; toute l'information utile pour la prédiction du futur est contenue dans l'état présent du processus. Les processus de Markov portent le nom de leur découvreur, Andreï Markov.
Exemple : Doudou le hamster
Doudou, le hamster paresseux, ne connaît que trois endroits dans sa cage : les copeaux où il dort, la mangeoire où il mange et la roue où il fait de l'exercice. Ses journées sont assez semblables les unes aux autres, et son activité se représente aisément par une chaîne de Markov. Toutes les minutes, il peut soit changer d'activité, soit continuer celle qu'il était en train de faire. L'appellation processus sans mémoire n'est pas du tout exagérée pour parler de Doudou.
Quand il dort, il a 9 chances sur 10 de ne pas se réveiller la minute suivante.
Quand il se réveille, il y a 1 chance sur 2 qu'il aille manger et 1 chance sur 2 qu'il parte faire de l'exercice.
Le repas ne dure qu'une minute, après il fait autre chose.
Après avoir mangé, il y a 3 chances sur 10 qu'il parte courir dans sa roue, mais surtout 7 chances sur 10 qu'il retourne dormir.
Courir est fatigant ; il y a 8 chances sur 10 qu'il retourne dormir au bout d'une minute. Sinon il continue en oubliant qu'il est déjà un peu fatigué.
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14/06/2015 à 16h09
Pour en savoir plus
http://www.lifl.fr/~jdelahay/pls/213.pdf
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14/06/2015 à 17h21
> La probabilité d'arrivé directement à avoir 2 bons résultats consécutifs étant moindre...<
Bon mettons... c'est un peu comme on dit que deux eclairs ne peuvent frapper consécutivement le meme endroit, ou alors le soldat qui se refugie dans le trou d'un obus persuadé que la pluie d'obus qui suit ne réexplosera au meme endroit.
J'en resterai quand même a l'indépendance totale du cas précédent avec le cas a venir , c'est plus simple à comprendre, meme si la chaine de Markov se dote d'une vocation prédictive.
Et je pense que pour les lancers, il faut des millions ou des milliards de lancers pour differencier du prédictif avec du non prédictif.
14/06/2015 à 17h56
J'ai pas été sympa sur ce coup là....alors continuons:
La piscine circulaire:
Laura se trouve sur le bord d'une piscine circulaire. Juste à côté en dehors de l'eau, se trouve, Niki un méchant qui veut attraper cette personne. Niki court 4.5 fois plus vite que Laura nage.
Comment Laura peut elle s'en sortir ?
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14/06/2015 à 18h26
Hodina écrivait:
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> J'ai pas été sympa sur ce coup là....alors continuons:
>
> La piscine circulaire:
>
> Laura se trouve sur le bord d'une piscine circulaire. Juste à côté en dehors de
> l'eau, se trouve, Niki un méchant qui veut attraper cette personne. Niki court
> 4.5 fois plus vite que Laura nage.
>
> Comment Laura peut elle s'en sortir ?
>
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Elle nage vers le centre, puis vers le bord diamétralement opoosé à la position de Niki le méchant...
Là elle aura R (rayon) mètre à faire à la nage, et Niki 2xpixR : comme 2 pi est supérieur à 4,5 Laura a une chance de lui échappé.
14/06/2015 à 18h54
vulpi écrivait:
---------------
> la souris doit choisir la même combinaison que le chat, sauf pour le dernier
> lancé.
>
> Si le chat choisit PPP, la probabilité est de 1/8
> Pour la souris tous ce jouera sur le dernier lancé, les deux précédant sont
> forcément PP, et la probabilité sur un lancé est de 1/2.
> 1/8 pour le chat
> 1/2 pour la souris
> ????
En fait je n'ai pas été clair, si le lancé compte pour les deux, le chat ayant choisit PPP aura 1/8 chance de gagner, si la souris choisit PPF son sort ne dépend que du dernier lancé, 1/2 chance, dans les autres cas (non PP) le chat a de toute façon perdu, une sorte de biais non mathématique, une façon de changer l'énoncé de départ... l'idée est plus de gagner en marquant l'adversaire.
Bon suis plus porté sur la lecture que les math, je fais avec mes moyens.
14/06/2015 à 19h51
adhoc écrivait:
---------------
> > La probabilité d'arrivé directement à avoir 2 bons résultats consécutifs étant
> moindre...<
>
> Bon mettons... c'est un peu comme on dit que deux eclairs ne peuvent frapper
> consécutivement le meme endroit, ou alors le soldat qui se refugie dans le trou
> d'un obus persuadé que la pluie d'obus qui suit ne réexplosera au meme endroit.
> J'en resterai quand même a l'indépendance totale du cas précédent avec le cas a
> venir , c'est plus simple à comprendre, meme si la chaine de Markov se dote
> d'une vocation prédictive.
> Et je pense que pour les lancers, il faut des millions ou des milliards de
> lancers pour differencier du prédictif avec du non prédictif.
>
Pas du tout, il n'y a rien de prédictif là dedans...
La chance d'avoir pile ou face est belle et bien identique (1/2) à chaque lancé, indépendamment des lancés précédents.
Par conséquent, sur 3 lancés consécutifs, les 8 combinaisons possibles auront autant de chance de tomber l'une que l'autre...
Néanmoins, les 8 combinaisons possibles, n'auront pas les mêmes chances de réussite au delà de 3 lancés... Dès 4 lancés, il y a un biais qui apparait!
Voici ce que ça donne pour 5 lancés, avec les combinaisons FPP, PPF, PFP, et PPP : on se rend bien compte que la combinaison PPP (8/32) a beaucoup moins de probabilité de sortir que les autres sur 5 lancés consécutifs. L'ordre est celui que j'ai donné plus haut, par contre là où ça se complique c'est que même si PFP (11/32) a moins de probabilité de sortir que FPP (12/32), PFP gagne la course face à FPP...
Donc, c'est pas aussi simple que je l'ai énoncé plus haut, il faut que la souris adapte sa réponse en fonction de celle du chat...
PPP_dfucpm.jpg
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