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Problèmes et énigmes à résoudre...Bonne chance
14/06/2015 à 20h21
Merci carident, tu as été tres patient dans ta (tres bonne) explication.
pfp est un triplet majoritaire si pile est tombé au premier lancer.
Je pense que fpf devrait le remporter si le premier lancer tombait sur face pour un lancer de 5. Denombrer et compter, bien vu et merci encore pour ton travail soigneux et tu gateras bien ta petite souris plus futée que moi!
>Là elle aura R (rayon) mètre à faire à la nage, et Niki 2xpixR : comme 2 pi est supérieur à 4,5 Laura a une chance de lui échappé.<
Hum, pour la piscine, la petite doit parcourir 2R (elle est au bord a coté du garcon qui n'est pas dans la flotte) :-) , le garcon Pi R
Donc je pense qu'elle doit faire un aller retour.
Soit le garcon y va, elle arrivera avant en faisant le retour, soit il n'y va pas elle ne fait pas de voyage retour!
Ca me rappelle une nouvelle Hitchcock avec deux petites frappes qui jouent a ce jeu, mais c'est dans un lac avec une baigneuse et helas, il n'y a pas de rapport 4.5...
Les ados en manque commencent a lui jeter des pierres...
14/06/2015 à 20h56
tu te rappelles mon cher adhoc cette énigme avec laquelle tu nous avais tenu en haleine en 2006 ? :)
http://www.eugenol.com/recherche?q=Un+australopith%C3%A9que+enrhum%C3%A9+jette+un+boomerang+qui+fait+trois&x=0&y=0
14/06/2015 à 22h19
Je vous applaudis tous très fort....BRAVO!!
la CCAM n'avait qu'à bien se tenir avec vous....
nouvelle énigme:
100 prisonniers sont condamnés à mort. Le directeur de la prison propose un challenge à nos prisonniers :
- il leur attribue à tous un numéro entre 1 et 100
- il installe dans son bureau une armoire avec 100 tiroirs, dans chacun desquels il met aléatoirement un et un seul numéro entre 1 et 100. Chaque numéro apparait une et une seule fois.
Il propose à chaque prisonnier de venir ouvrir 50 tiroirs de son bureau, pour regarder le numéro qui est dedans. Les prisonniers sont d'abord réunis pour élaborer une stratégie puis envoyer dans un ordre aléatoire dans le bureau. Une fois passés dans le bureau, les prisonniers ne peuvent pas communiquer entre eux, ni changer les numéros de place, ni laisser un tiroir ouvert, ni coller un chewing-gum sur l'interrupteur de la lampe... Ils ne verront jamais les autres prisonniers avant le jugement dernier.
De deux choses l'une :
- Tous les prisonniers ont trouvé leur numéro en ouvrant les tiroirs auxquels ils avaient droit : ils sont tous graciés.
- Sinon, ils sont tous exécutés.
Un probabiliste dans le groupe des prisonniers dit : "aie aie aie ! On est mal : 1 chance sur 2^100 de s'en sortir". A-t-il vraiment raison ? N'y a-t-il pas un moyen d'augmenter cette probabilité ?
(Indication : il existe une stratégie telle qu'ils aient une probabilité > 1-ln2 de s'en sortir. Ça parait vraiment surprenant mais c'est possible).
BONNE CHANCE!!
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14/06/2015 à 23h08
Bon allez, je tente. Les prisonniers P(i) qui ont eu le numéro i décident ensemble de fouiller les tiroirs T(i) jusqu'a T(i+49) modulo 100 dans l'ordre de numerotation de P(i). Ils conviennet aussi que le tiroir du haut est le numero1 ,premier tiroir fouillé par le premier prisonnier qui rentre, celui du dessous le 2 etc...
Ainsi le prisonnier i=2 ne fouillera pas le tiroir du prisonnier i=1 , le tiroir du haut au cas ou ce dernier ait trouvé son numéro.
Le prisonnier 3 ne fouillera pas le tiroir du haut et celui du dessous au cas ou les deux prisonniers aient tous les deux trouvé leurs numeros.
De proche en proche, les tiroirs peuvent se vider un peu en cas de succès, augmentant tres vite les chances des suivants.
Mais comme tous les prisonniers doivent trouver tous les numéros, ils risquent de toute facon se retrouver au jugement dernier et devraient plutot tenter une sortie en force!
16/06/2015 à 20h24
Hodina écrivait:
----------------
> Je vous applaudis tous très fort....BRAVO!!
> la CCAM n'avait qu'à bien se tenir avec vous....
>
> nouvelle énigme:
> 100 prisonniers sont condamnés à mort. Le directeur de la prison propose un
> challenge à nos prisonniers :
> - il leur attribue à tous un numéro entre 1 et 100
> - il installe dans son bureau une armoire avec 100 tiroirs, dans chacun desquels
> il met aléatoirement un et un seul numéro entre 1 et 100. Chaque numéro apparait
> une et une seule fois.
> Il propose à chaque prisonnier de venir ouvrir 50 tiroirs de son bureau, pour
> regarder le numéro qui est dedans. Les prisonniers sont d'abord réunis pour
> élaborer une stratégie puis envoyer dans un ordre aléatoire dans le bureau. Une
> fois passés dans le bureau, les prisonniers ne peuvent pas communiquer entre
> eux, ni changer les numéros de place, ni laisser un tiroir ouvert, ni coller un
> chewing-gum sur l'interrupteur de la lampe... Ils ne verront jamais les autres
> prisonniers avant le jugement dernier.
>
> De deux choses l'une :
> - Tous les prisonniers ont trouvé leur numéro en ouvrant les tiroirs auxquels
> ils avaient droit : ils sont tous graciés.
> - Sinon, ils sont tous exécutés.
> Un probabiliste dans le groupe des prisonniers dit : "aie aie aie ! On est mal :
> 1 chance sur 2^100 de s'en sortir". A-t-il vraiment raison ? N'y a-t-il pas un
> moyen d'augmenter cette probabilité ?
> (Indication : il existe une stratégie telle qu'ils aient une probabilité > 1-ln2
> de s'en sortir. Ça parait vraiment surprenant mais c'est possible).
Chaque prisonnier ne pouvant ouvrir que 50 tiroirs (seulement 1 sur 2) n'a déjà qu'une chance sur 2 de trouver son numéro, ce qui n'est pas terrible...
En plus ils ne peuvent pas communiquer entre eux pour améliorer les chances des prisonniers suivant de trouver leur numéro...
Donc, ça ne leur sert strictement à rien de mettre en place une stratégie pour ne pas rouvrir les mêmes numéro de tiroirs que les précédents prisonniers, dans la mesure où ils ne sauront pas ce qu'auront trouvé leur prédécesseurs...
Il faut donc trouver un biais qui permettent à tous les prisonniers de trouver leur numéro de manière sûre et pas à seulement avec une chance sur 2 ; et il faut que ce biais puisse fonctionner avec une probabilité supérieur à 1-ln2...
J'ai une petite idée de ce que ça peut être, mais il va falloir que je révise mes cours de math sup pour calculer la probabilité... :-(
16/06/2015 à 20h37
enlaye écrivait:
----------------
> Appelles plutôt tes neveux! :-))
ah oui c'est vrai... j'avais oublié :-)
17/06/2015 à 08h18
Carident, on ne peut qu’améliorer la statistique de 1/2¨100
Le premier prisonnier qui rentrera dans la pièce n'a qu'une chance sur deux d'avoir son billet! Tu ne peux rien avoir d'autre!
Ca, c'est une donnée fixe.
Le 100% de succes est impossible a avoir, c'est sur!
L'amélioration des statistiques viendra du système de numérotation des tiroirs/numéro du prisonnier entrant.
Par exemple, l'ensemble des prisonniers convient que le premier prisonnier fouillera le premier tiroir (celui du haut) et les 49 autres plus bas, le deuxieme qui entrera le deuxieme et les 49 autres plus bas etc...
On n'aura plus 1/2*2*2...*2 (100fois) chance de succes , mais (50/100)*(50.5/100)*(51/100)*....*(99/100)
Suite géométrique convergente, c'est mieux.
17/06/2015 à 08h23
Ce qui serait con , serait que tous les prisonniers ouvrent par exemple tous les 50 premières portes . Là cest sur qui ils seraient frits bouillis .
J ai un ppatient qui bosse au casino , il te dirait :
Ils peuvent calculer tout ce qui ils veulent , ils sont morts ,c est moi qui me gave .
17/06/2015 à 09h03
bon, pour trouver la solution il faut être bon en math...très bon même selon moi!
Personnellement, j'ai la solution, mais ce n'est pas moi qui l'ai trouvé: j'en serai incapable.
Voulez vous un indice pour vous amener dans la bonne direction?
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17/06/2015 à 09h23
Le mien n'est pas bon? Laisse moi calculer ma convergence ce soir pour voir si on a 1-Log2
17/06/2015 à 09h51
adhoc écrivait:
---------------
>
> L'amélioration des statistiques viendra du système de numérotation des
> tiroirs/numéro du prisonnier entrant.
> Par exemple, l'ensemble des prisonniers convient que le premier prisonnier
> fouillera le premier tiroir (celui du haut) et les 49 autres plus bas, le
> deuxieme qui entrera le deuxieme et les 49 autres plus bas etc...
>
> On n'aura plus 1/2*2*2...*2 (100fois) chance de succes , mais
> (50/100)*(50.5/100)*(51/100)*....*(99/100)
> Suite géométrique convergente, c'est mieux.
>
A quoi sert de faire ouvrir aux prisonniers suivant des tiroirs différents, dans la mesure où ils ne savent pas ce qu'ont trouvé leur prédécesseurs?! A rien...
Imagines le prisonnier 1 ouvre les 50 premiers tiroir et voit que dans la tiroir 1, il y a le numéro 2... Le prisonnier 2 arrive ; il ne sait pas que le prisonnier 1 a vu son numéro à lui dans le tiroir 1, mais à cause de ta stratégie, le prisonnier 2 passera à côté de son numéro, à coup sûre!
Il y aurait un intérêt à faire ouvrir des tiroirs systématiquement différent, si c'était le même prisonnier qui retournerait ouvrir les tiroirs, ou si ceux-ci pouvaient communiquer entre eux... Mais, ça n'est pas le cas!
17/06/2015 à 10h30
adhoc écrivait:
---------------
> Le mien n'est pas bon? Laisse moi calculer ma convergence ce soir pour voir si
> on a 1-Log2
Je te laisse calculer.
Tu n'est pas trop loin de la solution.
Comme info malgré tout, l'idée que le prisonnier 1 commence par le casier 1, le prisonnier par le casier 2 etc ....est bonne.
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17/06/2015 à 11h24
>A quoi sert de faire ouvrir aux prisonniers suivant des tiroirs différents, dans la mesure où ils ne savent pas ce qu'ont trouvé leur prédécesseurs?! A rien...<
ba si , m'sieur carident, suppose (les chances sont minces mais existent) que le prisonnier premier entrant ait trouvé son billet dans le tiroir du haut, c'est un peu dommage de le refouiller. Donc il sera exclu de la fouille par le deuxieme pour augmenter un tout petit peu ses chances avec les 50 autres tiroirs.
Ca ne parait rien comme augmentation des chances, mais de proche en proche (le troisieme ignore les deux premiers tirois etc...), c'est avantageux!
Et c'est très facile aux prisonniers de respecter cette consigne qu'ils ont décidée ensemble, pas d'effort de mémoire, il suffit de compter.
Hodina a parlé de valeur 1-log2 et non plus 1/2^100, je suis persuadé que cette valeur est une limite. On aurait eu 1000 prisonniers , on aurait aussi cette valeur, je suis quasi sur.
D'ou une convergence de cette suite géométrique (à calculer)
17/06/2015 à 11h38
adhoc écrivait:
---------------
> >A quoi sert de faire ouvrir aux prisonniers suivant des tiroirs différents,
> dans la mesure où ils ne savent pas ce qu'ont trouvé leur prédécesseurs?! A
> rien...<
>
> ba si , m'sieur carident, suppose (les chances sont minces mais existent) que le
> prisonnier premier entrant ait trouvé son billet dans le tiroir du haut, c'est
> un peu dommage de le refouiller. Donc il sera exclu de la fouille par le
> deuxieme pour augmenter un tout petit peu ses chances avec les 50 autres
> tiroirs.
Tu pars sur une supposition qui est fausse... Rien ne permet au second de savoir que le 1er tiroir ne contient pas son numéro! Tu réduit certes le nombre de tiroirs à ouvrir pour les suivants, mais tu réduits aussi leur chance de trouver leur numéro (ou du moins, tu n'augmentes pas leur chance de trouver leur numéro...).
17/06/2015 à 11h47
>Tu pars sur une supposition qui est fausse... Rien ne permet au second de savoir que le 1er tiroir ne contient pas son numéro! <
La supposition n'est pas fausse, elle est probabiliste!
Quitte a fouiller 50 tiroirs, pourquoi refouiller le ou les précedents? Le succes doit etre collectif, tu dois sortir de 1/2^100!
Tu ne peux nier la supposition (tres faible certes au debut) que le prisonnier 1 ait trouvé son numéro dans le tiroir 1? Il faut donc tenir compte de cette éventualité. Elle est vraie (existence d'une chance sur 100) ou fausse.
17/06/2015 à 12h11
adhoc écrivait:
---------------
> >Tu pars sur une supposition qui est fausse... Rien ne permet au second de
> savoir que le 1er tiroir ne contient pas son numéro! <
>
> La supposition n'est pas fausse, elle est probabiliste!
> Quitte a fouiller 50 tiroirs, pourquoi refouiller le ou les précedents? Le
> succes doit etre collectif, tu dois sortir de 1/2^100!
> Tu ne peux nier la supposition (tres faible certes au debut) que le prisonnier 1
> ait trouvé son numéro dans le tiroir 1? Il faut donc tenir compte de cette
> éventualité. Elle est vraie (existence d'une chance sur 100) ou fausse.
Si la supposition est probabiliste, je veux bien... Mais, il ne faudra pas oublier de rajouter cette probabilité (1/100) dans ton équation... => comme je l'ai dit plus haut, tu réduits certes le nombre de tiroirs à fouiller, mais tu réduit aussi la probabilité de trouver...
17/06/2015 à 12h41
Ma formule de succes est (50/100)*(50.5/100)*(51/100)*....*(99/100). J'ai bien rajouté cette demi chance sur 50!
On verra bien si ca fait 1-ln2 ! (ca serait trop beau, mais qui ne tente rien n'a rien!!!!)
17/06/2015 à 13h17
adhoc écrivait:
---------------
> Ma formule de succes est (50/100)*(50.5/100)*(51/100)*....*(99/100). J'ai bien
> rajouté cette demi chance sur 50!
> On verra bien si ca fait 1-ln2 ! (ca serait trop beau, mais qui ne tente rien
> n'a rien!!!!)
>
>
Je peux te le dire tout de suite ça fait moins que 1-ln2...
Ne serait-ce que (50/100)*(50.5/100), c'est déjà inférieur à 1-ln2 (il faudrait que le reste de l'équation soit légèrement supérieur à 1, ce qui est impossible...)
Je dis ça, je dis rien... ça t'évitera de résoudre une longue équation pour rien ;-)
17/06/2015 à 13h19
mon Adhoc, pourquoi n'essayerais tu pas avec seulement 4 prisonniers au lieu des 100?
Cela te demanderait moins de calcul et puisqu'il s'agit d'une suite probabiliste, les résultats seraient les mêmes, non???
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18/06/2015 à 17h56
Où as tu trouvé un exercice aussi tordu??!! Là ce que tu nous sors Hodina, ça correspond au niveau des grandes écoles, et perso même si je suis passé par là c'est pas pour ça que j'ai trouvé la réponse :-) . D'ailleurs je pense que j'en suis encore loin voir même à coté de la plaque.
Mais les problèmes de maths souvent pour comprendre le début il faut commencer par la fin.
Il est dit : Indication : il existe une stratégie telle qu'ils aient une probabilité > 1-ln2
donc on doit se demander d'où sort cet ln2.
ln2 = ln(2r/r) = ln(2r)-ln(r) = [ln(r)] (r->2r) = ∫ (r->2r) 1/x dx
(∫ est signe d'une intégrale)
donc en gros P>1-ln2 = 1 - ∫ (r,2r) 1/x dx
or quand on a des probabilités discrètes ou des variables aléatoires continues on utilise beaucoup les additions (qui correspondent au mot "ou") et des multiplications (qui correspondent au mot "et")
Et en l’occurrence ici on est devant une somme . Or une intégrale est une somme d'aires...
Par conséquent on doit chercher du coté d'une somme c'est à dire : Σ (r->2r) 1/v
voilà ce que je peux apporter pour l'instant :-)
18/06/2015 à 18h44
non c est pas ça plutonjunior ,
sur les conseil des neveux a carident ,
ç est le calcul de permutations avec un cycle . en l'occurence le cycle est sup à 50 .pour qu'is crevent a coup sur .et la proba qu'ils s'en sortent est 1- log 2 = 30
quelque soit le nombre de participants.
pourquoi un cycle ?
"En effet la stratégie consiste donc a commencer par ouvrir le tiroir avec son propre numéro. Si le numéro dans ce tiroir n'est pas le bon alors on ouvre le tiroir correspondant au numéro que l'on vient de découvrir et ainsi de suite jusqu'a ce que l'on trouve son numéro ou que l'on ouvre 50 tiroirs.
Ainsi, lorsque la répartition des nombres dans les tiroirs est une permutation qui ne contient aucun cycle strictement supérieur a cinquante les prisonnier sont sûrs de s'en sortir. Et inversément si il existe un cycle strictement supérieur a 50 alors ils sont tous sûrs de mourrir.
Comme les nombres sont répartis dans les tiroirs de manière aléatoire, la probabilité finale que les prisonniers meurrent est égale "au nombre de permutation de 100 nombres avec un cycle > 50" divisé par "le nombre total de permutations de 100 nombres".
Et la probabilité qu'ls s'en sortent est un moins leur proba de mourir."
18/06/2015 à 19h11
ouaouch, enlaye !
On trace a chaque fois le numéro écrit dans chaque tiroir! pitine, en effet ca évite a deux prisonniers de refouiller les memes tiroirs.
On fait donc une petite ballade de tiroir en tiroir, mais dans un ordre déterminé.
Le nombre de permutations est égal a 100! Ca , ce n'est pas trop dur :-).
Donc la valeur peut être trouvée en une fois, on cherche le nombre d'arrangements (c'est a dire combinaisons sans ordre) avec chance de trouver en un seul tiroir: A100,1 , puis le nombre d'arrangements avec chance de trouver au bout de deux tiroirs, etc, et on s’arrête a 50, soit A100,50.
Toi, tu démarres a 51 et tu sommes les arrangements de 51 à 100 trajets de tiroirs (ce que tu appelles un cycle mais bof car on n'a pas d'aller retour) que tu divises par 100!
Remarque tu as une proba inverse de type 1-p, c'est vrai.
C'est niveau math spe au minimum, il me semble, car cette sommation d'arrangements divisée par 100! doit mener a cette formule 1-ln2 . Ce qu'il faut démontrer.
ouaouh, c'est une énigme abominable. J'ai suivi tes conseils hodina, j(ai fait sur 4 prisonniers, 4 tiroirs, fouille sur 2 tiroirs pour simplifier le probleme et tenter une modélisation par extension.
J'aurais a ce moment la formule dictée par enlay (pour 4)
A4,3 *2! /4! =8/24=0.33 pas loin de la formule, yesssssssssss
Je pense que cette formule est une limite, quand le nombre d’éléments probabilistes augmente vers l'infini.
Donc si les prisonniers de font pas trop de conneries, au lieu d'une chance globale sur 2 ^ 100 de s'en sortir, ils ont une chance sur 3 :-)
18/06/2015 à 19h52
enlaye écrivait:
----------------
> non c est pas ça plutonjunior ,
> sur les conseil des neveux a carident ,
hahahaha... ça m'étonnerait qu'il sache faire ça à leur âge!
Bref, j'avais presque la solution, mais je n'ai pas réussi à évaluer le nombre de "cycles"...
J'ai remarqué en me reposant sur 10 chiffres mis au hasard dans 10 cases, qu'il y avait une création induite d'ensembles de numéro que l'on pouvait relier entre eux (chaque numéro dans un tiroir pointe sur un numéro de tiroir : technique que j'ai mainte fois utilisé en programmation). Le cas extrême étant celui où chaque numéro est mis dans le tiroir portant le même numéro : on a créé autant d'ensemble que l'on a de tiroirs ; dans ce cas là, on aurait 100 ensembles de 1 numéro chacun... Bien sûre dans ce cas là, les prisonniers s'en sortiraient tous n'ayant qu'un tiroir à ouvrir chacun (en utilisant cette stratégie).
Mais on peut aussi avoir l'inverse... 1 seul ensemble de 100 numéro!
Ensuite, il fallait évaluer le nombre total de possibilités d'ensembles que l'on peut créer avec 100 chiffres (= T), et le nombre de possibilités d'ensembles avec aucun ensemble de plus de 50 numéros (E50).
Le probabilité de réussite est E50/T
Seulement même en me replongeant dans les combinaisons, arrangements et autres permutations, je n'ai pas trouvé la formule magique. Et mes neveux n'ont pas su m'aider... :-(
Je me rend compte maintenant que j'ai oublié de prendre en compte l'ordre...